Question

【題目】經(jīng)過坐標(biāo)原點的兩條直線與橢圓：分別相交于點、和點、，其中直線經(jīng)過的左焦點，直線經(jīng)過的右焦點.當(dāng)直線不垂直于坐標(biāo)軸時，與的斜率乘積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值6.

【解析】

（1）設(shè)，，由對稱性可知，由，，相減得，而直線與直線的斜率乘積為，所以，由題意可知，利用，這樣可求出的值，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題設(shè)不平行于軸，設(shè)：，與聯(lián)立得，由對稱性四邊形是平行四邊形，其面積的等于面積的4倍，于是，利用根與系數(shù)的關(guān)系，和換元法以及求導(dǎo)法，可以求出四邊形面積的最大值.

解：（1）設(shè)，，由對稱性，直線與直線的斜率乘積為.

由，，相減得.

所以，因為，所以，，的方程為.

（2）由題設(shè)不平行于軸，設(shè)：，與聯(lián)立得.，.

由對稱性四邊形是平行四邊形，其面積的等于面積的4倍，于是 .

設(shè)，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)，即時，取最大值6.