Question

已知點(diǎn)P是⊙O：x²+y²=9上的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PD垂直于x軸于D，動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足，
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
(2)已知點(diǎn)E(1，1)，在動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡上是否存在不重合的兩點(diǎn)M，N，使(O是坐標(biāo)原點(diǎn))？若存在，求出直線(xiàn)MN的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)設(shè)P(x₀，y₀)，Q(x，y)，依題意，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(x₀，0)，
所以，
又，
所以，即，
因?yàn)镻在⊙O上，故，
所以，
所以Q點(diǎn)的軌跡方程為。
(2)假設(shè)橢圓上存在不重合的兩點(diǎn)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)滿(mǎn)足，
則E(1，1)是線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，且有，即，
又M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)在橢圓上，
所以，
兩式相減，得，
所以，
則直線(xiàn)MN的方程為4x+9y-13=0，
所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡上存在點(diǎn)M，N滿(mǎn)足，
此時(shí)直線(xiàn)MN的方程為4x+9y-13=0．