Question

2．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（Ⅰ）  求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求幾何體A-BCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題中數(shù)量關(guān)系和勾股定理，得出AC⊥BC，再證BC垂直與平面ACD中的一條直線即可，△ADC是等腰Rt△，底邊上的中線OD垂直底邊，由面面垂直的性質(zhì)得OD⊥平面ABC，即OD⊥BC，從而證得BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）由高和底面積，求得三棱錐B-ACD的體積即是幾何體A-BCD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=16=AB²；
∴AC⊥BC，
取AC的中點O，連結(jié)DO，則DO⊥AC，
又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，
從而OD⊥平面ABC，
∵BC?面ABC，
∴OD⊥BC，
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知BC為三棱錐B-ACD的高，
BC=2$\sqrt{2}$，S_△ACD=2，
∴V_A-BCD=V_B-ACD=$\frac{1}{3}$sh=$\frac{1}{3}$×2×2$\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定定理及勾股定理，注意等體積法的合理運用，是中檔題．