Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：（a＞b＞0）右焦點的直線x+y-=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為．
（Ι）求M的方程
（Ⅱ）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把右焦點（c，0）代入直線可解得c．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點P（x，y），利用“點差法”即可得到a，b的關(guān)系式，再與a²=b²+c²聯(lián)立即可得到a，b，c．
（II）由CD⊥AB，可設(shè)直線CD的方程為y=x+t，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到弦長|CD|．把直線x+y-=0與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到弦長|AB|，利用S_{四邊形ACBD}=即可得到關(guān)于t的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到其最大值．
解答：解：（I）把右焦點（c，0）代入直線x+y-=0得c+0-=0，解得c=．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點P（x，y），
則，，相減得，
∴，
∴，又=，
∴，即a²=2b²．
聯(lián)立得，解得，
∴M的方程為．
（II）∵CD⊥AB，∴可設(shè)直線CD的方程為y=x+t，
聯(lián)立，消去y得到3x²+4tx+2t²-6=0，
∵直線CD與橢圓有兩個不同的交點，
∴△=16t²-12（2t²-6）=72-8t²＞0，解-3＜t＜3（*）．
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），∴，．
∴|CD|===．
聯(lián)立得到3x²-4x=0，解得x=0或，
∴交點為A（0，），，
∴|AB|==．
∴S_{四邊形ACBD}===，
∴當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，四邊形ACBD面積的最大值為，滿足（*）．
∴四邊形ACBD面積的最大值為．
點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、“點差法”、中點坐標(biāo)公式、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、四邊形的面積計算、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力．