Question

（本小題滿分14分）
有個首項都是1的等差數列，設第個數列的第項為，公差為，并且成等差數列．
（Ⅰ）證明（，是的多項式），并求的值
（Ⅱ）當時，將數列分組如下：
(每組數的個數構成等差數列)．
設前組中所有數之和為，求數列的前項和．
（Ⅲ）設是不超過20的正整數，當時，對于（Ⅱ）中的，求使得不等式
成立的所有的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知.
，
同理，，，…，
．
又因為成等差數列，所以.
故，即是公差為的等差數列．
所以，．
令，則，此時． ………4分
（Ⅱ）當時，．
數列分組如下：．
按分組規(guī)律，第組中有個奇數，
所以第1組到第組共有個奇數．
注意到前個奇數的和為，
所以前個奇數的和為.
即前組中所有數之和為，所以．
因為，所以，從而 ．
所以 .
.
故

.
所以 ．         ………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.
故不等式就是．
考慮函數．
當時，都有，即．
而，
注意到當時，單調遞增，故有.
因此當時，成立，即成立．
所以,滿足條件的所有正整數．    …………………………14分

略