Question

設函數f（x）=ln（1+x）-ax，x∈（0，+∞）
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）求證：ln(1+n)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)；
（3）若|m|≥2，試比較：ln(1+

1

1×2

)+ln(1+

1

2×3

)+…+ln[1+

1

n×(n+1)

]+

1

n+1

（n∈N₊）與m²-3大小關系．

Answer 1

分析：（1）利用導數求函數的單調性，由于參數a的變化對單調性有影響，故要進行分類討論；（2）利用（1）問的結論，利用疊加的思想可證得；（3）問則在（2）的基礎上，進行疊加即可證得．

解答：解：（1）f/(x)=

1

1+x

-a，
①若a≥1，f′（x）＜0恒成立，故函數在（0，+∞）上遞減；
②若0＜a＜1，令f′（x）＞0，則函數在(0，

1-a

a

)上遞增，在(

1-a

a

，+∞ )上遞減；
（2）證明：由（1）知，當時，函數f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上遞減，即f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x，所以ln（1+

1

n

）＜

1

n

，所以ln(n+1)-lnn＜

1

n

，當n=1，2，n時，疊加得：ln(1+n)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N+)；
（3）由（2）知ln(1+

1

1×2

)＜

1

1×2

=1-

1

2

，ln(1+

1

2×3

)＜

1

2

-

1

3

，ln(1+

1

n(n+1)

)＜

1

n

-

1

n+1

疊加得ln(1+

1

1×2

)+ln(1+

1

n(n+1)

)+

1

n+1

＜1
故由題意|m|≥2，m²-3＞1，
所以ln(1+

1

1×2

)+ln(1+

1

2×3

)+…+ln[1+

1

n×(n+1)

]+

1

n+1

＜m²-3．

點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數研究出函數的單調性，判斷出函數的最值，本題第二小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉化最值問題來求解，本題即轉化為用單調性求函數在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數的取值．本題運算量過大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導致解題失敗．