(本小題滿分13分)已知橢圓C的中心在坐標原點,離心率,且其中一個焦點與拋物線的焦點重合.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)過點的動直線l交橢圓CA、B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點T,使得無論l如何轉(zhuǎn)動,以AB為直徑的圓恒過點T,若存在,求出點T的坐標;若不存在,請說明理由.
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為,離心率,,拋物線的焦點為,所以,橢圓C的方程是x2+="1." …………(4分)
(Ⅱ)若直線lx軸重合,則以AB為直徑的圓是x2+y2=1,若直線l垂直于x軸,則以AB為直徑的圓是(x+)2+y2=
解得即兩圓相切于點(1,0).
因此所求的點T如果存在,只能是(1,0).…………(6分)
事實上,點T(1,0)就是所求的點.證明如下:
當(dāng)直線l垂直于x軸時,以AB為直徑的圓過點T(1,0).
若直線l不垂直于x軸,可設(shè)直線ly=k(x+).由即(k2+2)x2+k2x+k2-2=0.
記點A(x1,y1),B(x2,y2),則…………(9分)
又因為=(x1-1, y1), =(x2-1, y2),
·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+)(x2+)
=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1 =(k2+1) +(k2-1) + +1=0,
所以TATB,即以AB為直徑的圓恒過點T(1,0).
所以在坐標平面上存在一個定點T(1,0)滿足條件. …………(13分)
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