(本小題滿分13分)已知橢圓
C的中心在坐標原點,離心率
,且其中一個焦點與拋物線
的焦點重合.(Ⅰ)求橢圓
C的方程;(Ⅱ)過點
的動直線
l交橢圓
C于
A、B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點
T,使得無論
l如何轉(zhuǎn)動,以
AB為直徑的圓恒過點
T,若存在,求出點
T的坐標;若不存在,請說明理由.
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為
,離心率
,
,拋物線
的焦點為
,所以
,橢圓C的方程是
x2+
="1." …………(4分)
(Ⅱ)若直線
l與
x軸重合,則以
AB為直徑的圓是
x2+
y2=1,若直線
l垂直于
x軸,則以
AB為直徑的圓是(
x+
)
2+
y2=
.
由
解得
即兩圓相切于點(1,0).
因此所求的點
T如果存在,只能是(1,0).…………(6分)
事實上,點
T(1,0)就是所求的點.證明如下:
當(dāng)直線
l垂直于
x軸時,以
AB為直徑的圓過點
T(1,0).
若直線
l不垂直于
x軸,可設(shè)直線
l:
y=
k(
x+
).由
即(
k2+2)
x2+
k2x+
k2-2=0.
記點
A(
x1,
y1),
B(
x2,
y2),則
…………(9分)
又因為
=(
x1-1,
y1),
=(
x2-1,
y2),
·
=(
x1-1)(
x2-1)+
y1y2=(
x1-1)(
x2-1)+
k2(
x1+
)(
x2+
)
=(
k2+1)
x1x2+(
k2-1)(
x1+
x2)+
k2+1 =(
k2+1)
+(
k2-1)
+
+1=0,
所以
TA⊥
TB,即以
AB為直徑的圓恒過點
T(1,0).
所以在坐標平面上存在一個定點
T(1,0)滿足條件. …………(13分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
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如果橢圓
上一點P到焦點
的距離等于6,那么點P到另一個焦點
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的左焦點
是長軸的一個四等分點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且不與y軸垂直的直線
交橢圓于C、D兩點,記直線AD、BC的斜率分別為
(1)當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4,直線
軸時,求
的值;
(2)求
的值。
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科目:高中數(shù)學(xué)
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若點
在橢圓
上,
、
分別是該橢圓的兩焦點,且
,則
的面積是( )
A. 1 | B. 2 | C. | D. |
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:單選題
橢圓
的焦距為 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
橢圓
經(jīng)過點
,對稱軸為坐標軸,焦點
在
軸上,離心率
,
求橢圓
的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知橢圓
,過點
作傾斜角為
的直線
交橢圓于
、
兩點,
為坐標原點,則
的面積為_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知橢圓
+
=1(a>b>0)的左焦點為F,右頂點為A,點B在橢圓上,且BF⊥x軸,直線AB交y軸于點P.若
=2
,則橢圓的離心率是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
橢圓
的離心率為
,則
的值為 ____________
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