Question

如圖已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、O 三點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式；                             
（3）在（2）中的二次函數(shù)圖象的OB段（不包括點(diǎn)O、B）上，是否存在一點(diǎn)C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求點(diǎn)B的坐標(biāo)，在RtOAB中，過B作BD垂直于x軸，垂足為D，只要求OD，BD即可
（2）把A（2，0），B（

3

2

，

3

2

）（0，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，解方程可求a，b，c進(jìn)而可求函數(shù)解析式
（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，y）（0＜x＜

3

2

），使得四邊形ABCO的面積最大，由于△OAB的面積為定值，只要△OBC的面積最大，四邊形ABCO的面積就最大
過點(diǎn)C做x軸的垂線，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，則S_△OBC=

1

2

CF•OE+

1

2

CF•ED=

1

2

CF•OD=

3

4

CF=

3

4

(yC-yF)=

3

4

(-

2 3

3

x2+

3

x)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（1）在RtOAB中，∠AOB=30°
∴OB=

3

，過B作BD垂直于x軸，垂足為D，則OD=

3

2

，BD=

3

2

∴B(

3

2

，

3

2

)（3分）
（2）把A（2，0），B（

3

2

，

3

2

），O（0，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c可得

c=0 4a+2b+c=0 9a 4 + 3b 2 +c= 3 2

∴a=-

2 3

3

，b=

4 3

3

，c=0
∴所求的二次函數(shù)的解析式為y=-

2  3

3

x2+

4 3

3

x（6分）
（3）設(shè)存在點(diǎn)C（x，y）（0＜x＜

3

2

），使得四邊形ABCO的面積最大
∵△OAB的面積為定值
∴只要△OBC的面積最大，四邊形ABCO的面積就最大
過點(diǎn)C做x軸的垂線，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，過B做BD垂直于y軸，則
S_△OBC=

1

2

EF•BD=

3

4

CF=

3

4

(yC-yF)=

3

4

(-

2 3

3

x2+

3

x)
∴S_△OBC=-

3

2

x 2 +

3 3

4

x=-

3

2

(x-

3

4

)2+

9 3

32

∴當(dāng)x=

3

4

時(shí)，△OBC的面積最大，最大面積為

9 3

32

此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

3

4

，

5 3

8

），四邊形ABCO的面積為

25 3

32

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在直角三角形中求解線段的長(zhǎng)度，及利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最大值等知識(shí)的綜合應(yīng)用．