Question

13．已知不等式|2x+2|-|x-1|＞a．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求不等式的解集
（2）若不等式在區(qū)間[-4，2]內(nèi)無解．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）求得f（x）=|2x+2|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x＜-1}\\{3x+1，-1≤x＜1}\\{x+1，x≥1}\end{array}\right.$ 在區(qū)間[-4，2]內(nèi)的值域，結(jié)合|2x+2|-|x-1|＞a無解，求得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，不等式即|2x+2|-|x-1|＞0，
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-2x-2-（1-x）＞0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜1}\\{2x+2-（1-x）＞0}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x+2-（x-1）＞0}\end{array}\right.$③．
解①求得 x＜-3，解②求得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，解③求得 x≥1．
綜上可得，原不等式的解集為{x|x＜-3，或x＞-$\frac{1}{3}$}．
（2）當(dāng)x∈[-4，2]，f（x）=|2x+2|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x＜-1}\\{3x+1，-1≤x＜1}\\{x+1，x≥1}\end{array}\right.$ 的值域?yàn)閇-2，3]，
而不等式|2x+2|-|x-1|＞a無解，故有a≤3．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想；還考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．