Question

在淘寶網(wǎng)上，某店鋪專(zhuān)賣(mài)當(dāng)?shù)啬撤N特產(chǎn)．由以往的經(jīng)驗(yàn)表明，不考慮其他因素，該特產(chǎn)每日的銷(xiāo)售量y（單位：千克）與銷(xiāo)售價(jià)格x（單位：元/千克，1＜x≤5）滿(mǎn)足：當(dāng)1＜x≤3時(shí)，y=a(x-3)2+

b

x-1

，（a，b為常數(shù)）；當(dāng)3＜x≤5時(shí)，y=-70x+490．已知當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為2元/千克時(shí)，每日可售出該特產(chǎn)700千克；當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為3元/千克時(shí)，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并確定y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）若該特產(chǎn)的銷(xiāo)售成本為1元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使店鋪每日銷(xiāo)售該特產(chǎn)所獲利潤(rùn)f（x）最大（x精確但0.01元/千克）．

Answer 1

分析：（1）利用銷(xiāo)售價(jià)格為2元/千克時(shí)，每日可售出該特產(chǎn)700千克；銷(xiāo)售價(jià)格為3元/千克時(shí)，每日可售出150千克，代入函數(shù)解析式，可求a，b的值，從而可確定y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）分類(lèi)求出函數(shù)的最值，比較結(jié)果，即可得到店鋪每日銷(xiāo)售該特產(chǎn)所獲利潤(rùn)f（x）最大值．

解答：解：（1）因?yàn)閤=2時(shí)，y=700；x=3時(shí)，y=150，所以

b 2 =150 a+b=700

，解得a=400，b=300
∴每日的銷(xiāo)售量y=

400(x-3)2+ 300 x-1 (1＜x≤3) -70x+490(3＜x≤5)

；…4'
（2）由（1）知，當(dāng)1＜x≤3時(shí)，每日銷(xiāo)售利潤(rùn)f(x)=[400(x-3)2+

300

x-1

](x-1)=400（x-3）²（x-1）+300=400（x³-7x²+15x-9）+300（1＜x≤3）
∴f'（x）=400（3x²-14x+15），∴當(dāng)x=

5

3

，或x=3時(shí)，f'（x）=0
當(dāng)x∈(1，

5

3

)時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(

5

3

，3)時(shí)f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴x=

5

3

是函數(shù)f（x）在（1，3]上的唯一極大值點(diǎn)，f(

5

3

)=400×

32

27

+300＞700；…8'
當(dāng)3＜x≤5時(shí)，每日銷(xiāo)售利潤(rùn)f（x）=（-70x+490）（x-1）=-70（x²-8x+7）
∴f（x）在x=4有最大值，且f（4）=630＜f(

5

3

)…11'
綜上，銷(xiāo)售價(jià)格x=

5

3

≈1.67元/千克時(shí)，每日利潤(rùn)最大…12'

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．