Question

如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分別是AE，AB的中點(diǎn)．

(1)求證：PQ∥平面ACD；

(2)求AD與平面ABE所成的角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在△ABE中，P，Q分別是AE，AB的中點(diǎn)， 　　所以PQ∥EB，且PQ＝EB． 　　又EB∥DC，所以PQ∥DC． 　　因?yàn)镻Q平面ACD，DC平面ACD， 　　所以PQ∥平面ACD． 　　(2)解：連接DP，CQ．在△ABC中，AC＝BC＝2，AQ＝BQ，所以CQ⊥AB． 　　因?yàn)镈C⊥平面ABC，EB∥DC， 　　所以EB⊥平面ABC，所以EB⊥CQ． 　　因?yàn)锳B∩EB＝B，所以CQ⊥平面ABE． 　　由(1)知PQ∥DC，且PQ＝EB＝DC，則四邊形DCQP是平行四邊形，所以DP∥CQ． 　　所以DP⊥平面ABE，則AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP，所以AD與平面ABE所成的角是∠DAP． 　　由AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，得∠CAQ＝30°， 　　則DP＝CQ＝2sin∠CAQ＝1． 　　又AD＝＝＝， 　　所以sin∠DAP＝＝＝， 　　即AD與平面ABE所成的角的正弦值為． 　　點(diǎn)評(píng)：用定義求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意：(1)先判斷直線與平面的位置關(guān)系．(2)當(dāng)直線是平面的斜線時(shí)，常用以下步驟：①作出或找到斜線與其射影所成的角；②論證所作或找到的角為所求的角；③用解三角形的方法求角；④點(diǎn)明斜線與平面所成的角．找兩條異面直線所成的角，可通過平行移動(dòng)(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．二面角主要用定義法求解．