Question

（1）四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，有多少種不同的取法？

（2）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，取其中4個(gè)不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法？

Answer 1

解：（1）如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有5個(gè)點(diǎn)，從中取出3個(gè)點(diǎn)必與點(diǎn)A共面，共有種取法，含頂點(diǎn)A的三條棱上各有3個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法.根據(jù)加法原理，與頂點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法有+3=33種.

（2）如上圖，從10個(gè)頂點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法有種，除去4點(diǎn)共面的取法種數(shù)須可得到結(jié)果，從四面體同一個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)中取出的4點(diǎn)必定共面，有=60種，四面體的每一棱上3點(diǎn)與相對(duì)棱中點(diǎn)共面，共有6種共面的情形，從6條棱的中點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)時(shí)有3種共面的情形（對(duì)棱中點(diǎn)連線兩兩相交且互相平分），故4點(diǎn)不共面的取法為-（60+6+3）=141種.

點(diǎn)評(píng):本題主要考查組合、立體幾何知識(shí)及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.注意:（1）用直接法；（2）用間接法，也是排除法.當(dāng)直接法考慮比較難或分類復(fù)雜時(shí)，可考慮用間接法.