Question

1．設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1+1，x∈[1，2]．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)$g（x）=\frac{1}{f（x）}$的值域．
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為0，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的值域，求出g（x）的值域即可；
（2）通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最小值，求出a的值即可．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=（2^x）²-4•2^x+1=（2^x-2）²+3，
令2^x=t，∵x∈[1，2]，∴2^x∈[2，4]，即t∈[2，4]，
則f（t）=（t-2）²+3，t∈[2，4]，
故f（t）在[2，4]遞增，
f（t）的最小值是f（2）=3，f（t）的最大值是f（4）=7，
故g（x）的值域是[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$]；
（2）函數(shù)f（x）=4^x-a•2^x+1+1=（2^x-a）²+1-a²，x∈[1，2]，
令2^x=t，∵x∈[1，2]，∴2^x∈[2，4]，即t∈[2，4]，
故f（t）=（t-a）²+1-a²，t∈[2，4]，
a≤2時(shí)，f（t）在[2，4]遞增，
f（t）的最小值是f（2）=（2-a）²+1-a²=0，
解得：a=$\frac{5}{4}$，符合題意；
2＜a＜4時(shí)，f（t）在[2，a）遞減，在（a，4]遞增，
故f（t）的最小值是f（a）=1-a²=0，
解得：a=±1，不合題意；
a≥4時(shí)，f（t）在[2，4]遞減，
f（t）的最小值是f（4）=（4-a）²+1-a²=0，
解得：a=$\frac{17}{16}$，不合題意；
綜上，a=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類(lèi)討論思想，以及函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，是一道中檔題．