如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點．
（1）證明：△PBC是直角三角形；
（2）若PA=AB=2，且當直線PC與平面ABC所成角正切值為
2
時，直線AB與平面PBC所成角的正弦值．
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（1）證明：∵C在圓O上，∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面
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ABC，∴BC⊥PA，
∵PC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．
（2）如圖，過A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC，則∠ABH就是要求的角．…（8分）
∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC與平面ABC所成角，…（9分）
∵tan∠PCA=
PA
AC
=
2
，又PC=2，∴AC=
2
．…（10分）
∴在Rt△PAC中，AH=
PA?AC
PA2+AC2
=
2
3
3
，…（11分）
∴在RtABH中，sin∠ABH=
2
3
3
2
=
3
3
，
故AC與平面PBC所成角正弦值為
3
3
．…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理科）如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，經平面AEFG所截后得到的圖形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
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（Ⅰ）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

（文科）如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF．
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科目：高中數(shù)學 來源：南充高中2008－2009學年高二下學期第四次月考數(shù)學試題(理) 題型：044

如圖，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點．

(1)若一個n面體中有m個面是直角三角形，則稱這個n面體的直度為．那么四面體P－ABC的直度為多少？說明理由；

(2)在四面體P－ABC中，AP＝AB＝1，設．若動點M在四面體P－ABC表面上運動，并且總保持PB⊥AM．設為動點M的軌跡圍成的封閉圖形的面積關于角的函數(shù)，求取最大值時，二面角A－PB－C的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省南充高中2008－2009學年高二下學期第四次月考數(shù)學文 題型：044

如圖，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點．

(1)若一個n面體中有m個面是直角三角形，則稱這個n面體的直度為．那么四面體P－ABC的直度為多少？說明理由；

(2)如圖，若四面體P－ABC中，AP＝AB＝1，AE⊥PB，垂足為E，AF⊥PC，垂足為F．設∠EAF＝，為△AEF面積的函數(shù)，求取最大值時二面角A－PB－C的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，ABCD是正方形，E、F分別是AD、BC邊上的點，EF∥AB，EF交AC于點O，以EF為棱把它折成直二面角A-EF-D后，求證：不論EF怎樣移動，∠AOC是定值.

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省南充高中08-09學年高二下學期第四次月考（理） 題型：解答題

 如圖甲，已知PA垂直于⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C為圓周上異于A、B的一點．

（1）若一個面體中有個面是直角三角形，則稱這個面體的直度為．那么四面體的直度為多少？說明理由；

（2）在四面體中，，設．若動點在四面體 表面上運動，并且總保持．設為動點的軌跡圍成的封閉圖形的面積關于角的函數(shù)，求取最大值時,二面角的正切值．

 

 

 

 

 

 

 

 

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