Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），且，對(duì)任意x，y∈（-1，1），都有，數(shù)列{a_n}滿足．
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）求數(shù)列{f（a_n）}的通項(xiàng)公式；
（3）令，證明：當(dāng)n≥2時(shí)，．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=y，則得f（0）=0，再令x=0，則得0-f（y）=f（-y），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）令y=-x，可得f（x）=•f（），故有f（a_n）=•f（）=f（a_n+1），故數(shù)列{f（a_n）}是公比等于2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為  f（）=1，由此求得f（a_n）的解析式．
（3）先求出a₂=，易證n=2時(shí)，不等式成立，假設(shè) ，先證明數(shù)列{a_n}為增數(shù)列，
可得 ＜a_n＜1，故有|a_i-a_k+1|＜．用放縮法證明n=k+1時(shí)，不等式也成立，命題得證．
解答：解：（1）證明：∵，任取x，y屬于（-1，1）且x=y，則有f（x）-f（x）=f（0）=0．
令x=0，則 0-f（y）=f（-y），即 f（-y）=-f（y），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）在中，令y=-x，可得 f（x）-f（-x）=f（），即 f（x）=•f（）．
∴f（a_n）=•f（）=f（a_n+1），
故數(shù)列{f（a_n）}是公比等于2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為  f（）=1，
故f（a_n）=1×2^n-1=2^n-1．
（3）由 可得 a₂=，
∵，
故當(dāng)n=2時(shí)，|-|=|a₁+a₂-a₁-|=||＜==，故當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立．
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即 ，
則 =|+a_k+1-A_k+1|＜+|a_k+1-A_k+1|
＜+||．
由于＜1，故有a_n+1-a_n=＞0，故數(shù)列{a_n}為增數(shù)列．
故當(dāng)n≥2時(shí)，＜a_n＜1，∴|a_i-a_k+1|＜，i=1，2，3…k．
∴+||
≤+||+||+…+||=+k×＜+=．
故當(dāng)n=k+1時(shí)，成立．
綜上可得 成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，數(shù)列與不等式綜合，利用數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法和放縮法證明不等式，屬于難題．