Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=1，anan+1=(

1

2

)n，(n∈N×)．
（1）求證：數(shù)列{a_2n-1}與{a_2n}（n∈N^*）均為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)和T_2n；
（3）若數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)和為T(mén)_2n，不等式3（1-ka_2n）≥64T_2n•a_2n對(duì)n∈N^×恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意知數(shù)列a₁，a₃，…，a_2n-1，…是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列；數(shù)列a₂，a₄，…，a_2n，…是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（2）利用等比數(shù)列的求和公式得到即可；
（3）不等式3（1-ka_2n）≥64T_2n•a_2n對(duì)n∈N^×恒成立等價(jià)于64T_2n•a_2n≤3（1-ka_2n）?64[3-3•(

1

2

)n](

1

2

)n≤3-3k(

1

2

)n?2ⁿ+

64

2n

≥64+k.2n+

64

2n

≥16當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)取等號(hào)，所以64+k≤16，即k≤-48求出k的最大值即可．

解答：解：（1）∵anan+1=(

1

2

)n
∴

an+2

an

 =

1

2

∴數(shù)列a₁，a₃，…，a_2n-1，…是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
數(shù)列a₂，a₄，…，a_2n，…是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=

1-( 1 2 ) n

1- 1 2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=3-3•(

1

2

)n
（3）64T_2n•a_2n≤3（1-ka_2n）?64[3-3•(

1

2

)n](

1

2

)n≤3-3k(

1

2

)n?2ⁿ+

64

2n

≥64+k
2n+

64

2n

≥16當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)取等號(hào)，
所以64+k≤16，即k≤-48
∴k的最大值為-48

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生對(duì)等比關(guān)系的確定能力，求等比數(shù)列前n項(xiàng)的能力．