Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的半焦距為c，直線l的方程為bx+ay-ab=0，若原點(diǎn)O到直線l的距離為

3

4

c，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A．

  2 3

  3

  或2
• B．

  2 3

  3

• C．

  2

  或

  2 3

  3

• D．2

Answer 1

分析：原點(diǎn)（0，0）到直線bx+ay=ab的距離是d=

|ab|

a2+b2

=

3

4

c，兩邊平方得16a²c²-16c⁴=3c⁴，兩邊除以a⁴，得：3e⁴-16e²+16=0，由此能求出雙曲線的離心率．

解答：解：原點(diǎn)（0，0）到直線bx+ay=ab的距離是d=

|ab|

a2+b2

=

3

4

c，
兩邊平方得：a²b²=

3

16

c²（a²+b²）=

3

16

（c²）²，
即：16a²（c²-a²）=3（c²）²，
∴16a²c²-16c⁴=3c⁴，
兩邊除以a⁴，得：3e⁴-16e²+16=0，
解得e²=4或e²=

4

3

，
因?yàn)閍＞b，所以a²＞b²，
即a²＞c²-a²，2a²＞c²，
所以

c2

a2

＜2，即e²＜2．
所以e²=4舍去．
∴e²=

4

3

，
所以離心率e=

2 3

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的求法和直線與雙曲線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．易錯(cuò)點(diǎn)是沒有判斷e²＜2，從而導(dǎo)致產(chǎn)生增根．