Question

（本小題滿分13分）己知函數(shù)

（1）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若是的極值點(diǎn)，求在上的最大值；

（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由

 

Answer 1

（1） ；（2） 在上的最大值為；（3）存在，實(shí)數(shù)b的取值范圍為且．

【解析】

試題分析：（1）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，可利用導(dǎo)數(shù)法，故對(duì)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，利用在區(qū)間上是增函數(shù)，可得在區(qū)間上恒成立，即在上恒成立，即，求出最小值，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的極值點(diǎn)，求在上的最大值，先求出函數(shù)的解析式，可利用是的極值點(diǎn)，求出的值，再求出函數(shù)的極值，把極值同兩個(gè)端點(diǎn)的值進(jìn)行比較得到最值；（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由，這是探索性命題，一般假設(shè)其存在，本題假設(shè)存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，即恰有3個(gè)不等實(shí)根，注意到是其中一個(gè)根，只需有兩個(gè)不等零的不等實(shí)根．，可由二次方程得，從而可求的實(shí)數(shù)b的取值范圍．

試題解析：（1） 在［1，＋）單增 在［1，＋）上恒有即在上恒成立，則必有且 4分

（2），即，令

，則

x	1	（1,3）	3	（3,4）	4
		_	0	+
	-6		-18		-12

 

在［1，4］上最大值 8分

（3）函數(shù)的圖象與圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，即恰有3個(gè)不等實(shí)根，，其中是其中一個(gè)根

，有兩個(gè)不等零的不等實(shí)根．

∴， 且 13分

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)最值，方程的根．