(2013•湛江二模)已知x軸上有一列點(diǎn)P1,P2 P3,…,Pn,…,當(dāng)n≥2時,點(diǎn)Pn是把線段Pn-1 Pn+1 作n等分的分點(diǎn)中最靠近Pn+1的點(diǎn),設(shè)線段P1P2,P2P3,P3P4,…,PnPn+1的長度分別 為a1,a2,a3,…,an,其中a1=1.
(1)求an關(guān)于n的解析式;
(2 )證明:a1+a2+a3+…+an<3
(3)設(shè)點(diǎn)P(n,an) {n≥3),在這些點(diǎn)中是否存在兩個點(diǎn)同時在函數(shù)y=
k(x-1)2
(k>0)
 的圖象上?如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,說明理由.
分析:(1)由于Pn是把Pn-1Pn+1線段作n等分的分點(diǎn)中最靠近Pn+1的點(diǎn),所以知Pn-1Pn=(n-1)PnPn-1,從而可得
an
an-1
=
1
n-1
,進(jìn)而利用疊乘即可求出a2,a3和an的表達(dá)式;
(2)對通項進(jìn)行放縮,再求和,利用等比數(shù)列的求和公式即可證明;
(3)假設(shè)存在,即可得
(p-1)2
(p-1)!
=
(q-1)2
(q-1)!
,再設(shè)bn=
n2
n!
,考查數(shù)列{bn}單調(diào)減即可.
解答:(1)解:由已知Pn-1Pn=(n-1)PnPn-1
令n=2,P1P2=P2P3,∴a2=1,同理a3=
1
2
,
an
an-1
=
1
n-1

∴an=
1
n-1
an-1=
1
n-1
1
n-2
•an-2=…=
1
(n-1)!

(2)證明:∵n≥2時,
1
(n-1)!
=
1
1×2×…×n
1
2n-2

∴a1+a2+a3+…+an≤1+1+
1
2
+…
1
2n-2
=3-
1
2n-2
<3
而n=1時,結(jié)論成立,故a1+a2+a3+…+an<3;
(3)假設(shè)有兩個點(diǎn)A(p,ap),B(q,aq),都在函數(shù)y=
k
(x-1)2
上,
即ap=
k
(p-1)2
,aq=
k
(q-1)2

所以
(p-1)2
(p-1)!
=k,
(q-1)2
(q-1)!
=k,消去k得
(p-1)2
(p-1)!
=
(q-1)2
(q-1)!
 ①,
設(shè)bn=
n2
n!
,考查數(shù)列{bn}的增減情況,
∵bn-bn-1=
n2
n!
-
(n-1)2
(n-1)!
=-
n2-3n+1
(n-1)!

∴當(dāng)n>2時,n2-3n+1>0,所以對于數(shù)列{bn}為遞減數(shù)列
∴不可能存在p,q使得①式成立,
∴不存在兩個點(diǎn)同時在函數(shù)y=
k
(x-1)2
(k>0)
 的圖象上.
點(diǎn)評:本題以線段為載體,考查數(shù)列的通項,考查放縮法的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,綜合性強(qiáng),難度較大.
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(2013•湛江二模)如圖,已知平面上直線l1∥l2,A、B分別是l1、l2上的動點(diǎn),C是l1,l2之間一定點(diǎn),C到l1的距離CM=1,C到l2的距離CN=
3
,△ABC內(nèi)角A、B、C所對 邊分別為a、b、c,a>b,且bcosB=acosA
(1)判斷三角形△ABC的形狀;
(2)記∠ACM=θ,f(θ)=
1
AC
+
1
BC
,求f(θ)的最大值.

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(2013•湛江二模)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)
在直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C的參數(shù)方程是
x=2+2cosθ
y=2sinθ
(θ∈[0,2π],θ為參數(shù)),若以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,則曲線C的極坐標(biāo)方程是
ρ=4cosθ
ρ=4cosθ

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(2013•湛江二模)已知f(x)=
2x,x≤0
log3x,x>0
,則f(f(
1
3
))
=
1
2
1
2

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(2013•湛江二模)已知函數(shù)f(x)=2
3
sinxcosx+cos2x

(1)求f(
π
6
)
的值;
(2)設(shè)x∈[0,
π
4
]
,求函數(shù)f(x)的值域.

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