Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

2

，an-1-an=

anan-1

n(n-1)

(n≥2，n∈N*)，則該數(shù)列的通項公式a_n=

n

3n-1

．

Answer 1

分析：由an-1-an=

anan-1

n(n-1)

(n≥2，n∈N*)，可得

1

an

-

1

an-1

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

．利用“裂項求和”即可得出．

解答：解：∵an-1-an=

anan-1

n(n-1)

(n≥2，n∈N*)，∴

1

an

-

1

an-1

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

．
∴

1

an

=(

1

an

-

1

an-1

)+(

1

an-1

-

1

an-2

)+…+(

1

a2

-

1

a1

)+

1

a1

=(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n-2

-

1

n-1

)+…+(1-

1

2

)+2
=1-

1

n

+2=

3n-1

n

，
∴an=

n

3n-1

，當(dāng)n=1時也成立．
故答案為

n

3n-1

．

點評：本題考查了遞推式的意義、“裂項求和”，屬于中檔題．