Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M為B₁C₁的中點，N是BC上一點．
（Ⅰ）若平面AB₁N∥平面A₁MC，求證：N為BC的中點；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若A₁B₁=A₁C₁，B₁C=B₁B，求證：平面A₁MC⊥平面ABC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由平面AB₁N∥平面A₁MC，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到MC∥B₁N，再由M為B₁C₁的中點可證結(jié)論；
（Ⅱ）由題意證出B₁C₁⊥平面A₁MC，再由B₁C₁∥BC，結(jié)合面面垂直的判定得答案．

解答：證明：（Ⅰ）∵平面AB₁N∥平面A₁MC，
平面A₁MC∩平面B₁BCC₁=MC，
AB₁N∩平面B₁BCC₁=B₁N，所以MC∥B₁N

因為M為B₁C₁中點，所以N為BC中點；
（Ⅱ）A₁B₁=A₁C₁，且M為中點，所以A₁M⊥B₁C₁，B₁C=BB₁⇒B₁C=C₁C，M為中點，所以CM⊥B₁C₁，
又A₁M∩MC=M，則B₁C₁⊥平面A₁MC，
又B₁C₁∥BC，所以BC⊥平面A₁MC，
又BC?平面ABC，所以平面A₁MC⊥平面ABC．

點評：本題考查了直線與平面，平面與平面垂直的判定，考查了學生的空間想象能力，是中檔題．