Question

已知橢圓C：的短軸長與焦距相等，且過定點，傾斜角為的直線l交橢圓C于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點P．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（Ⅲ）求△ABP面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把點代入橢圓方程，及其2b=2c，a²=b²+c²即可得出．
（II）把直線l的 方程與橢圓的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)得到關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程，利用△＞0即可．
（III）利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長公式即可得到|AB|，利用中點坐標(biāo)公式、線段的垂直平分線的方程、兩點間的距離公式可得點P到直線AB的距離，進而得到面積，
解答：解：（I）由題意可得，解得a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為．
（II）設(shè)直線l的方程為：y=x+m．
聯(lián)立，消去y得到3x²+4mx+2m²-2=0，
由△=16m²-24（m²-1）＞0，得m²＜3，即．
∴直線l在y軸上的取值范圍是．
（III）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．AB中點Q（x，y）．
則，．
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=．
∴，．
∴Q．
∴AB的垂直平分線的方程為：．
令y=0，得x=．即．
點P到直線AB的距離d=|PQ|==．
又==．
∴=
=．
∵m²＜3，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，△ABP面積取得最大值．
點評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、線段的垂直平分線、兩點間的距離公式、三角形的面積計算公式等是解題的關(guān)鍵．