邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，沿BD折成直二面角，過點(diǎn)A作PA⊥平面ABD，且AP=2
3
．
（Ⅰ）求證：PA∥平面DBC；
（Ⅱ）求直線PC與平面DBC所成角的大�。�
精英家教網(wǎng)
（Ⅰ）取BD的中點(diǎn)O，連接CO，則
等邊△BCD中，可得CO⊥BD．　　　…（1分）
精英家教網(wǎng)

又∵平面DBC⊥平面ABD，平面DBC∩平面ABD=BD，
CO?平面DBC，CO⊥BD
∴CO⊥平面ABD．　　　　　　　 …（3分）
又∵AP⊥平面ABD，∴CO∥PA．　　　　　　  …（4分）
∵CO?平面DBC，PA?平面DBC
∴PA∥平面DBC．　…（7分）
（Ⅱ）∵CO∥PA，
∴O、A、P、C四點(diǎn)共面．
連接AO并延長交PC的延長線于H．
∵平面DBC⊥平面ABD，平面DBC∩平面ABD=BD，AH⊥BD，
∴AH⊥平面BCD，
∴直線CO即直線PH在平面BCD內(nèi)的射影，可得∠HCO即直線PH平面BCD所成的角．　…（10分）
∵CO∥PA且OC=
1
2
PA，可得OC是△PAH的中位線．
∴OH=OA=
3
．
又∵OC=
3
，可得Rt△HCO中，tan∠HCO=
HO
OC
=1
∴∠HCO=45°，即直線PC與平面DBC所成角為45°…（14分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于點(diǎn)O．
（1）已知：PA=
2
，求證：AM⊥平面PBD；
（2）若二面角M-AB-D的余弦值等于
21
7
，求PA的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面ABB1A1是邊長為2的菱形，且∠A1AB=60°，M是AB的中點(diǎn)，MA1⊥AC．
（1）求證：MA1⊥平面ABC；
（2）求點(diǎn)M到平面AA1C1C的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)，P為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥平面MAP；
（2）求證：MP∥平面OBC；
（3）求三棱錐M-PAD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•渭南二模）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，Q是棱PA上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）若PB=PD，求證：BD⊥CQ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，Q是PA的中點(diǎn)，BD⊥CQ，PA=PC，PB=3，∠ABC=60°．
（1）求證：PC∥平面BDQ； 
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

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