Question

（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列、、滿足：，（n=1，2，3，…），      證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1，2，3，…）

Answer 1

見(jiàn)解析

必要性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則：
==－=0，
∴（n=1，2，3，…）成立；
又=6（常數(shù)）（n=1，2，3，…）
∴數(shù)列為等差數(shù)列.
充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（n=1，2，3，…），
∵……①     ∴……②
①－②得：=
∵
∴……③  從而有……④
④－③得：……⑤
∵，，，
∴由⑤得：（n=1，2，3，…），
由此，不妨設(shè)（n=1，2，3，…），則（常數(shù)）
故……⑥
從而……⑦
⑦－⑥得：，
故（常數(shù)）（n=1，2，3，…），
∴數(shù)列為等差數(shù)列.
綜上所述：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1，2，3，…）.