Question

如下圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，M是圓周上任意一點，AN⊥PM，垂足為N．

求證：AN⊥平面PBM．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵PA⊥平面ABM，BM平面ABM， 　　∴PA⊥BM． 　　又AB是圓O的直徑，可得AM⊥BM， 　　∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM． 　　∴BM⊥AN． 　　∴AN與PM、BM兩條相交直線垂直． 　　∴AN⊥平面PBM． 　　思路分析：本題考查線面垂直的定義，以及證明線面垂直的方法．要證線面垂直，需證直線和平面內的兩條相交直線都垂直．已知AN⊥PM，只要再證AN和平面PBM內的另一條直線，如BM或PB垂直即可． 　　再結合已知中線面垂直，可找線線垂直． 　　溫馨提示：判定一條直線和一個平面垂直有以下兩種方法： 　　(1)利用定義，即證這條直線和平面內的任意一條直線垂直．由于要垂直平面內的任意一條直線，具有不確定性，這給我們的證明帶來了不便，因此這個方法的操作性不很強． 　　(2)利用線面垂直的判定定理證明線面垂直可以轉化為直線和直線垂直問題．另一方面，證明線線垂直，由于直線和平面垂直時，直線和這個平面內的所有直線都垂直，因此證明垂直問題的過程實質是線線垂直和線面垂直的相互轉化的過程．