Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax（lnx-1）（a∈R且a≠0）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{1}{6}$x³-f（x），函數(shù)h（x）=g′（x），若h（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，解關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）=a[{（{lnx-1}）+x•\frac{1}{x}}]=alnx$，令f'（x）＞0，
當(dāng)a＞0時(shí)，解得x＞1；當(dāng)a＜0時(shí)，解得0＜x＜1，
所以當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）．
（2）∵h(yuǎn)（x）=g′（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx，由題意得h（x）_min≥0，
因?yàn)閔′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$=$\frac{（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{x}$，
所以當(dāng)x∈（0，$\sqrt{a}$）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)$x∈（\sqrt{a}，+∞）$時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
∴h（x）_min=h（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{2}$a-aln$\sqrt{a}$，
由$\frac{1}{2}a-aln\sqrt{a}≥0$，得lna≤1，解得0＜a≤e，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，e]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．