Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=2-2S_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=

n

2

•a_n，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n；
（3）是否存在自然數(shù)m使得

m-2

4

＜T_n＜

m

4

對(duì)一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）再寫(xiě)一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，從而可求通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列的和；
（3）先確定

1

3

≤T_n＜

3

4

，再根據(jù)

m-2

4

＜T_n＜

m

4

對(duì)一切n∈N^*恒成立，建立不等式，即可求得m的值．

解答：解：（1）由a_n=2-2S_n，令n=1，則a₁=2-2S₁，又S₁=a₁，所以a₁=

2

3

當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=2-2S_n，可得a_n-a_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2a_n，即

an

an-1

=

1

3

所以{a_n}是以a₁=

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，于是a_n=2•

1

3n

；
（2）b_n=

n

2

•a_n=

n

3n

，∴T_n=

1

3

+2•

1

32

+…+

n

3n

①
∴

1

3

T_n=1•

1

32

+…+

n-1

3n

+

n

3n+1

②
①-②可得

2

3

T_n=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1

2

(1-

1

3n

)-

n

3n+1

∴T_n=

3

4

-

2n+3

4

•

1

3n

（3）T_n+1-T_n=b_n+1=

n+1

3n+1

＞0，∴{T_n}單調(diào)遞增，∴T_n≥T₁=c₁=

1

3

∵T_n=

3

4

-

2n+3

4

•

1

3n

＜

3

4

，∴

1

3

≤T_n＜

3

4

使得

m-2

4

＜T_n＜

m

4

對(duì)一切n∈N^*恒成立，則

3 4 ≤ m 4 m-2 4 ＜ 1 3

∴3≤m＜

10

3

∵m是自然數(shù)，
∴m=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查恒成立問(wèn)題，求得數(shù)列的通項(xiàng)與和是關(guān)鍵．