Question

（2011•東城區(qū)一模）對于n∈N^*（n≥2），定義一個(gè)如下數(shù)陣：Ann=

a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann

其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當(dāng)i能整除j時(shí)，a_ij=1；當(dāng)i不能整除j時(shí)，a_ij=0．
（Ⅰ）當(dāng)n=4時(shí)，試寫出數(shù)陣A₄₄；
（Ⅱ）設(shè)t(j)=

n

i=1

aij=a1j+a2j+…+anj．若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，
求證：

n

j=1

t(j)=

n

i=1

[ 

n

i

 ]．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當(dāng)i能整除j時(shí)，a_ij=1；當(dāng)i不能整除j時(shí)，a_ij=0可得數(shù)陣A₄₄；
（Ⅱ）t（j）是數(shù)陣A_nn的第j列的和，則

n

j=1

t(j)是數(shù)陣A_nn所有數(shù)的和，按行相加，根據(jù)數(shù)陣A_nn的第i行中有[

n

i

]個(gè)1，其余是0，即第i行的和為[

n

i

]，可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）依題意可得，A44=

1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

…（4分）
（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數(shù)陣A_nn的第j列的和，
因此

n

j=1

t(j)是數(shù)陣A_nn所有數(shù)的和．
而數(shù)陣A_nn所有數(shù)的和也可以考慮按行相加．
對任意的1≤i≤n，不超過n的倍數(shù)有1i，2i，…，[

n

i

]i．
因此數(shù)陣A_nn的第i行中有[

n

i

]個(gè)1，其余是0，即第i行的和為[

n

i

]．
所以

n

j=1

t(j)=

n

i=1

[ 

n

i

 ]．…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的求和，以及新定義，解題的關(guān)鍵是弄清數(shù)陣A_nn的第i行中有[

n

i

]個(gè)1，其余是0，即第i行的和為[

n

i

]，屬于中檔題．