Question

已知：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+2n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）判斷數(shù)列{a_n}是否是等差數(shù)列，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意得，當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時(shí)a₁=S₁，求出a_n；
（2）先判斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²+2（n-1）=n²-1，
則a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（n²-1）=2n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+2=3，滿足上式．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+1；
（2）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
證明：由（1）知，a_n=2n+1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=（2n+1）-[2（n-1）+1]=2，
則當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，
所以數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列a_n與S_n的關(guān)系式，以及等差數(shù)列的定義，是�？嫉念}型．