Question

已知f（x）=x²+bx+2，x∈R．
（1）若函數(shù)F（x）=f[f（x）]與f（x）在x∈R時(shí)有相同的值域，求b的取值范圍；
（2）若方程f（x）+|x²-1|=2在（0，2）上有兩個(gè)不同的根x₁、x₂，求b的取值范圍，并證明

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和值域的關(guān)系尋找解決問(wèn)題的突破口，關(guān)鍵要理解f[f（x）]與f（x）在x∈R時(shí)有相同的值域等價(jià)于
f（x）的最小值要小于二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）將絕對(duì)值符號(hào)去掉進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵，利用方程根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行放縮求解轉(zhuǎn)化是證明本題的關(guān)鍵．
解答：（1）解：當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+bx+2的圖象是開(kāi)口向上，
且對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)，f（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125004834595905/SYS201310251250048345959020_DA/1.png">，
所以F（x）=f[f（x）]的值域也為的充要條件
是，
即b的取值范圍為（-∞，-2]∪[4，+∞）
（2）證明：f（x）+|x²-1|=2，即x²+bx+|x²-1|=0，由分析知b≠0
不妨設(shè)
因?yàn)镠（x）在（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，所以H（x）=0在（0，1]上至多有一個(gè)解．
若x₁，x₂∈（1，2），即x₁、x₂就是2x²+bx-1=0的解，，與題設(shè)矛盾．
因此，x₁∈（0，1]，x₂∈（1，2）．由，所以b≤-1；
由，所以
故當(dāng)時(shí)，方程f（x）+|x²-1|=2在（0，2）上有兩個(gè)解．
由消去b，得
由
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的知識(shí)，考查二次函數(shù)的值域意識(shí)，考查方程的根與方程系數(shù)之間的關(guān)系，求取值范圍關(guān)鍵要確定出字母滿(mǎn)足的不等式．