（2011•南充一模）在銳角三角形ABC中，角A，B，C對邊a，b，c且a2+b2-
2
ab=c2，tanA-tanB=csc2A
①求證：2A-B=
π
2
；
②求三角形ABC三個角的大�。�
分析：（1）將等式tanA-tanB=csc2A進(jìn)行“切化弦”，再利用二倍角的三角函數(shù)公式和誘導(dǎo)公式化簡得tan（-2A）=tan
（
π
2
-B），結(jié)合A、B均為銳角得-2A+π=
π
2
-B，即得2A-B=
π
2
成立；
（2）利用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC的式子，結(jié)合題意解出cosC=
2
2
，從而得到C=
π
4
．再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和（1）的等式聯(lián)解，即可得到△ABC三個角的大�。�
解答：解：（1）∵tanA-tanB=csc2A，即
sinA
cosA
-
sinB
cosB
=
1
sin2A

∴
2sin2A-1
2sinAcosA
=
sinB
cosB
，可得-
cos2A
sin2A
=
cos(
π
2
-B)
sin(
π
2
-B)

即-tan2A=tan（
π
2
-B），得tan（-2A）=tan（
π
2
-B），
∵A、B∈（0，
π
2
），∴-2A+π=
π
2
-B，解之得2A-B=
π
2
；
（2）∵a2+b2-
2
ab=c2，
∴根據(jù)余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得cosC=
2
2

結(jié)合C∈（0，
π
2
），得C=
π
4

由三角形內(nèi)角和定理，得A+B=
3π
4

根據(jù)（1）2A-B=
π
2
，聯(lián)解得A=
5π
12
，B=
π
3

綜上所述，三角形ABC三個角的大小分別為A=
5π
12
，B=
π
3
，C=
π
4
．
點評：本題給出三角形的邊和角滿足的條件，求三角形的三個內(nèi)角的大�。乜疾榱送侨呛瘮�(shù)的基本關(guān)系、二倍角三角函數(shù)公式和余弦定理等知識點，屬于中檔題．
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a
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5
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25
4
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3
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π
4
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