Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*且n≥2）．
（1）求a₂、a₃的值；
（2）若數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列，求實數(shù)λ的值；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，分別令n=2，n=3，由遞推思想能求出a₂、a₃的值．
（2）由已知條件推導(dǎo)出

an+λ

2n

=

an-1+λ

2n-1

+1-

1+λ

2n

，由此能求出數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列時實數(shù)λ的值．
（3）由（2）知數(shù)列{

an-1

2n

}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，從而能求出an=(n+1)•2n+1，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*且n≥2），
∴a₂=2×5+2²-1=10+4-1=13，
a3=2×13+23-1=26+8-1=33．…（3分）
（2）∵a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*且n≥2），
∴

an+λ

2n

=

2an-1+2n-1+λ

2n

=

an-1+λ

2n-1

+1-

1+λ

2n

．…（5分）
∴當(dāng)且僅當(dāng)

1+λ

2n

=0，即λ=-1時，
數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列．…（7分）
（3）由（2）的結(jié)論知：數(shù)列{

an-1

2n

}是首項為

a1-1

2

=2，
公差為1的等差數(shù)列，
∴

an-1

2n

=2+(n-1)×1=n+1，…（9分）
∴an=(n+1)•2n+1，…（10分）
∴S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ+n，
2S_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹+2n，…（11分）
兩式相減，得
-S_n=4+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）•2ⁿ⁺¹-n，…（12分）
∴Sn=n•(2n+1+1)，（n∈N^*）．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列中某項值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)列前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．