Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）在R上的導(dǎo)數(shù)f′(x)＜

1

2

，則不等式f(lgx)＜

lgx+1

2

的解集為

 

．

Answer 1

分析：首先分析題目已知f（1）=1，且f（x）在R上的導(dǎo)數(shù)f′(x)＜

1

2

，求不等式f(lgx)＜

lgx+1

2

的解集，考慮到用函數(shù)單調(diào)性求解，由f'（x）＜

1

2

，可以判斷出函數(shù)f（x）-

x

2

在R上是減函數(shù)，然后對(duì)不等式f(lgx)＜

lgx+1

2

移向化簡(jiǎn)，再根據(jù)已知條件可以得到f（t）-

t

2

＜f（1）-

1

2

，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解即可得到答案．

解答：解：因?yàn)閒'（x）＜

1

2

，即：f'（x）-

1

2

＜0，
令：g（x）=f（x）-

x

2

，可以判斷g（x）在R上的減函數(shù)，
設(shè)：t=lgx，
所以不等式f(lgx)＜

lgx+1

2

可化為f（t）＜

(t+1)

2

，f（t）-

t

2

＜

1

2

=f（1）-

1

2

，
即g（t）＜g（1），所以t＞1，
即lgx＞1，x＞10，即不等式解集為（10，+∞）
故答案為（10，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查不等式解集的問(wèn)題，題中涉及到利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，題中構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-

x

2

是題目的關(guān)鍵，有一定的技巧性，屬于中檔題目．