Question

已知集合A={x|2x2-x-6＞1}，集合B={x|log₄（x+1）＜a}，且A∩B=∅，則a的取值范圍是

a≤1

．

Answer 1

分析：先把集合A中不等式的右邊的1化為2⁰，由2大于1，得到指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)的大小得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集確定出集合A，然后再把集合B中不等式的右邊變形，根據(jù)4大于1，得到對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，同理可得關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集可得到集合B，由兩集合的交集為空集，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集得到滿足題意的a的范圍．

解答：解：由集合A中的不等式2x2-x-6＞1=2⁰，
由2＞1，得到指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，
∴x²-x-6＞0，即（x-3）（x+2）＞0，
解得：x＞3或x＜-2，
∴集合A={x|x＞3或x＜-2}；
又對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，
由log₄（x+1）＜a=

log

4a 4

，得到x+1＜4^a，即x＜4^a-1，
由集合B中的不等式左邊的對(duì)數(shù)函數(shù)y=log₄（x+1），且A∩B=∅，
得到-1＜x≤3，
∴4^a-1≤3，解得a≤1，
則a的取值范圍是a≤1．
故答案為：a≤1

點(diǎn)評(píng)：此題屬于以指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)為平臺(tái)，考查了交集的運(yùn)算，熟練掌握指數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．