Question

已知P是拋物線y²=2x上的點，點M（m，0），試求點P與點M的距離的最小值（其中m∈R）．

Answer 1

解：設(shè)P點坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則
=
=
令t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）則其對稱軸為x₀=m-1
（1）當(dāng)m-1＜0即m＜1時
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²在x₀≥0時為增函數(shù)，
所以
（2）當(dāng)m-1≥0即m≥1時，
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）在（0，m-1）上遞減，在（m-1，+∞）上遞增，
所以：
綜上所述，當(dāng)m＜1，點P與點M的距離的最小值為m；
當(dāng)m≥1，點P與點M的距離的最小值為．
分析：先設(shè)P點坐標(biāo)為（x₀，y₀），利用兩點間的距離公式求出點P與點M的距離的表達(dá)式；再結(jié)合二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法即可求出點P與點M的距離的最小值．
點評：本題主要考查二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法．在求二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值時，一定要注意分對稱軸在區(qū)間左邊，對稱軸在區(qū)間右邊以及對稱軸在區(qū)間中間三種情況來討論，以免出錯．