【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點(diǎn),且A1F∥平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構(gòu)成的集合是(
A.{t| }
B.{t| ≤t≤2}
C.{t|2 }
D.{t|2 }

【答案】D
【解析】解:設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G,連接AG、EG,則G為BC的中點(diǎn)

分別取B1B、B1C1的中點(diǎn)M、N,連接AM、MN、AN,

則∵A1M∥D1E,A1M平面D1AE,D1E平面D1AE,

∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE,

∵A1M、MN是平面A1MN內(nèi)的相交直線

∴平面A1MN∥平面D1AE,

由此結(jié)合A1F∥平面D1AE,可得直線A1F平面A1MN,即點(diǎn)F是線段MN上上的動點(diǎn).

設(shè)直線A1F與平面BCC1B1所成角為θ

運(yùn)動點(diǎn)F并加以觀察,可得

當(dāng)F與M(或N)重合時(shí),A1F與平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1,此時(shí)所成角θ達(dá)到最小值,滿足tanθ= =2;

當(dāng)F與MN中點(diǎn)重合時(shí),A1F與平面BCC1B1所成角達(dá)到最大值,滿足tanθ= =2

∴A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍為[2,2 ]

故選:D

【考點(diǎn)精析】掌握空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本,需要知道已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則

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A.
B.
C.
D.

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A.2
B.3
C.
D.

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