Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，M，N分別為AD，PB的中點，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．
（1）求證：MN⊥平面PBC；
（2）求MN與平面ABC所成的角；
（3）求四面體P-MBC的體積．

Answer 1

（1）取PC的中點Q，連DQ，NQ，則NQ∥BC且NQ=

1

2

BC．
因為BC∥DM，DM=

1

2

BC，所以NQ∥DM，且NQ=DM，所以四邊形NQDM是平行四邊形．
所以DQ∥MN，
因為PD⊥面ABCS，BC?面ABCD，
所以PD⊥BC，
因為BC⊥DQ．
因為PD=AD=a，所以DQ⊥PC，
因為PC∩BC=C，
所以DQ⊥面PBC，因為DQ∥MN，所以MN⊥面PBC．
（2）由（1）知，MN∥DQ，
所以MN與面ABCD所成角即為DQ與面ABCD所成角的大小，
取DC的中點R，連QR，則QR∥PD，
所以QR⊥面ABCD，所以∠QDR即為DQ與面ABCD所成的角．
所以∠QDR=45°，即MN與面ABCD所成角為45°．
（3）因為MN⊥平面PBC，所以VP-MBC=VM-PBC=

1

3

MN?S△PBC=

1

3

×

2

2

a×

1

2

×

2

a?a=

1

6

a3．