Question

我國(guó)城市空氣污染指數(shù)范圍及相應(yīng)的空氣質(zhì)量類別見(jiàn)下表：

空氣污染指數(shù)	空氣質(zhì)量		空氣污染指數(shù)	空氣質(zhì)量
0--50	優(yōu)		201--250	中度污染
51--100	良		251--300	中度重污染
101--150	輕微污染		＞300	重污染
151----200	輕度污染

我們把某天的空氣污染指數(shù)在0-100時(shí)稱作A類天，101--200時(shí)稱作B類天，大于200時(shí)稱作C類天．
下圖是某市2014年全年監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取的18天數(shù)據(jù)作為樣本，其莖葉圖如下：（百位為莖，十、個(gè)位為葉）

（Ⅰ）從這18天中任取3天，求至少含2個(gè)A類天的概率；
（Ⅱ）從這18天中任取3天，記X是達(dá)到A類或B類天的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,莖葉圖,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ） 從這18天中任取3天，取法種數(shù)有n=

C

3 18

，3天中至少有2個(gè)A類天的取法種數(shù)m=

C

2 3

C

1 15

+

C

3 3

，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出這3天至少有2個(gè)A類天的概率．
（Ⅱ）X的一切可能的取值是3，2，1，0，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ） 從這18天中任取3天，取法種數(shù)有n=

C

3 18

=816，
3天中至少有2個(gè)A類天的取法種數(shù)m=

C

2 3

C

1 15

+

C

3 3

=46，
所以這3天至少有2個(gè)A類天的概率為P=

m

n

=

46

816

=

23

408

．
（Ⅱ）X的一切可能的取值是3，2，1，0．
當(dāng)X=3時(shí)，P（X=3）=

C 3 8

C 3 18

=

7

102

，
當(dāng)X=2時(shí)，P（X=2）=

C 2 8 C 1 10

C 3 18

=

35

102

，
當(dāng)X=1時(shí)，P（X=1）=

C 1 8 C 2 10

C 3 18

=

15

34

，
當(dāng)X=0時(shí)，P（X=0）=

C 3 10

C 3 18

=

5

34

，
X的分布列為

X	3	2	1	0
P	7 102	35 102	15 34	5 34

數(shù)學(xué)期望為EX=

21+70+45

102

=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．