Question

（2011•武昌區(qū)模擬）已知各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3對(duì)于一切n∈N^*成立．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)bn=

2an-1

，Tn為數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和，求證T_n＜5．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接把n=1代入4S_n=a_n²+2a_n-3再結(jié)合各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)即可求出a₁；
（Ⅱ）直接根據(jù)4S_n=an2+2a_n-3以及4s_n-1=an-12+2a_n-1-3；作差整理求出a_n-a_n-1=2，得到數(shù)列的規(guī)律，即可求出結(jié)論；
（Ⅲ）先求出數(shù)列{

an

bn

}的通項(xiàng)公式，在利用錯(cuò)位相減法求和，進(jìn)而證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，4S₁=4a₁=a1 2+2a₁-3，，得a12-4a₁-3=0，
a₁=3或a₁=-1，由條件a_n＞0，所以a₁=3．      …（2分）
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n=an2+2a_n-3，4s_n-1=an-12+2a_n-1-3；
則4S_n-4S_n-1=an2+2a_n-3-an-12-2a_n-1+3，
所以4a_n=an2+2a_n-an-12-2a_n-1，an2-2a_n-an-12-2a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（4分）
由條件a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2，…（5分）
故正數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以a_n=2n+1．   …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）b_n=

2an-1

=

22n+1-1

=2ⁿ，

an

bn

=

2n+1

2n

，…（8分）
∴T_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

+

2n+1

2n

，①…（9分）
將上式兩邊同乘以

1

2

，得

1

2

T_n=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

        ②…（10分）
①-②，得

1

2

T_n=

3

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

2n+5

2n+1

，
即T_n=5-

2n+5

2n

．…（12分）
∵n∈N^*，∴

2n+5

2n

＞0
∴T_n＜5．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察數(shù)列與不等式的綜合問題．其中涉及到數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和適用于一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．