Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），a₁=1，a₄=8，（q≠0，q≠±1，b≠0），現(xiàn)把數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形形狀．記A（m，n）為第m行從左起第n個(gè)數(shù)．有下列命題：
①{a_n}為等比數(shù)列且其公比q=±2；
②當(dāng)n=2m（m＞3，m、n∈N^*）時(shí)，A（m，n）不存在；
③；
④當(dāng)m＞3時(shí)，A（m+1，m+1）=4^m•A（m，m）．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號是________．

Answer 1

②③④
分析：①n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（bq-b）q^n-1，故可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，由a₁=1，a₄=8，可得公比q=2，；
②第m行共有2m-1個(gè)數(shù)，而n=2m（m＞3，m、n∈N^*）；
③由圖形可知，奇數(shù)行，按下標(biāo)順序從小到大排列，偶數(shù)行，按下標(biāo)順序從大到消排列，且第6行的第一個(gè)數(shù)為a₃₆，第11行的第一個(gè)數(shù)為a₁₀₁；
④由圖形可知，A（m+1，m+1）與A（m，m）相差2m項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論．
解答：①n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（bq-b）q^n-1，∴=q，∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，∵a₁=1，a₄=8，∴公比q=2，故①不正確；
②∵第m行共有2m-1個(gè)數(shù)，∴n=2m（m＞3，m、n∈N^*）時(shí)，A（m，n）不存在，故②正確；
③由圖形可知，奇數(shù)行，按下標(biāo)順序從小到大排列，偶數(shù)行，按下標(biāo)順序從大到消排列，且第6行的第一個(gè)數(shù)為a₃₆，第11行的第一個(gè)數(shù)為a₁₀₁，故，即③正確；
④由圖形可知，A（m+1，m+1）與A（m，m）相差2m項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得A（m+1，m+1）=4^m•A（m，m），故④正確．
故答案為：②③④
點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生對數(shù)列的觀察能力，應(yīng)用能力，及等比數(shù)列的通項(xiàng)，屬中檔題型．