已知拋物線C1：x2=8y和圓C2：x2+（y-2）2=4，直線l過C1焦點，且與C1，C2交于四點，從左到右依次為A，B，C，D，則
AB
•
CD
=
4
4
．
分析：首先注意到
AB
，
CD
共線，因此則
AB
•
CD
=
|AB
|•|
CD
|=（AF-BF）（FD-CF），若設(shè)A、D的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）則根據(jù)拋物線定義有AF=y1+2，F(xiàn)D=y2+2，而BF，CF均為半徑，這樣只需求y1•y2，再設(shè)直線l的方程為y=kx+2，聯(lián)立直線和拋物線的方程求出y1•y2，
解答：解：∵拋物線C1：x2=8y的焦點為F（0，2），圓C2：x2+（y-2）2=4的圓心為（0，2），∴直線l過圓C2的圓心．
設(shè)直線l的方程為y=kx+2，A（x1，y1），D（x2，y2），聯(lián)立
y=kx+2
x2=8y
，得y2-（4+8k2）y+4=0，
∴y1•y2=4
又根據(jù)拋物線定義得|AF|=y1+
p
2
，F(xiàn)D=y2+
p
2
，∴AF=y1+2，F(xiàn)D=y2+2
則
AB
•
CD
=
|AB
|•|
CD
|=（AF-BF）（FD-CF）
=（y1+2-2）（y2+2-2）=y1•y2=4．
故答案為4
點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．關(guān)鍵拋物線的定義及巧妙將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點M
（Ⅰ）求點M到拋物線C1的準線的距離；
（Ⅱ）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：x2+by=b2經(jīng)過橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點．設(shè)Q（3，b），又M，N為C1與C2不在y軸上的兩個交點，若△QMN的重心（中線的交點）在拋物線C1上，
（1）求C1和C2的方程．
（2）有哪幾條直線與C1和C2都相切？（求出公切線方程）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：x2=4y和圓C2：x2+(y-1)2=1，直線l過C1焦點，從左到右依次交C1，C2于A，B，C，D四點，則
AB
•
CD
=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•臺州一模）已知拋物線C1：x2=2py（p＞0）上縱坐標為p的點到其焦點的距離為3．
（Ⅰ）求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）過點P（0，-2）的直線交拋物線C1于A，B兩點，設(shè)拋物線C1在點A，B處的切線交于點M，
（�。┣簏cM的軌跡C2的方程；
（ⅱ）若點Q為（�。┲星�C2上的動點，當直線AQ，BQ，PQ的斜率kAQ，kBQ，kPQ均存在時，試判斷
kPQ
kAQ
+
kPQ
kBQ
是否為常數(shù)？若是，求出這個常數(shù)；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：x2=2y的焦點為F，以F為圓心的圓C2交C1于A，B，交C1的準線于C，D，若四邊形ABCD是矩形，則圓C2的方程為（　�。�
A、x2+(y-
1
2
)2=3
B、x2+(y-
1
2
)2=4
C、x2+（y-1）2=12
D、x2+（y-1）2=16

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