Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

3

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，1）．直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點(diǎn)．
（1）若直線與ι橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍；  
（2）若直線l不過(guò)點(diǎn)M，求證：直線MA，MB與x軸圍成等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）先求出橢圓的方程，再與直線方程聯(lián)立，利用△＞0，即可得出m的取值范圍；
（2）只要證明k_MA+k_MB=0即可．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵離心率為

3

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，1）．
∴

c a = 3 2 a2=b2+c2 16 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=20 b2=5 c2=15

，
∴橢圓的方程為

x2

20

+

y2

5

=1．
聯(lián)立

y=x+m x2 20 + y2 5 =1

消去y得到5x²+8mx+4m²-20=0，
△=64m²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（1）可得x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-20

5

，
又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，
∴k_MA+k_MB=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

而分子=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8(m-1)=0，
∴k_MA+k_MB=0，
∴直線MA，MB與x軸圍成等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與橢圓相交問(wèn)題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、交點(diǎn)與判別式的關(guān)系、等腰三角形與斜率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．