Question

11．如圖，將直角△ABC沿著平行BC邊的直線DE折起，使得平面A′DE⊥平面BCDE，其中D、E分別在AC、AB邊上，且AC⊥BC，BC=3，AB=5，點(diǎn)A′為點(diǎn)A折后對應(yīng)的點(diǎn)，當(dāng)四棱錐A′-BCDE的體積取得最大值時(shí)，求AD的長．

Answer 1

分析 由勾股定理易得AC=4，設(shè)AD=x，則CD=4-x．由△AED∽△ABC，得$DE=\frac{3}{4}x$，求出四棱錐A′-BCDE的體積V（x）=$\frac{1}{8}（16x-{x}^{2}）$（0＜x＜4），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：由勾股定理得AC=4，設(shè)AD=x，則CD=4-x．
因?yàn)椤鰽ED∽△ABC，所以$DE=\frac{3}{4}x$，
則四棱錐A′-BCDE的體積為：
$V（x）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（{\frac{3}{4}x+3}）×（{4-x}）×x=\frac{1}{8}（{16x-{x^2}}）（{0＜x＜4}）$，
所以$V′（x）=\frac{1}{8}（{16-3{x^2}}）（{0＜x＜4}）$，
當(dāng)$0＜x＜\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，V′（x）＞0，V（x）遞增；
當(dāng)$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}＜x＜4$時(shí)，V′（x）＜0，V（x）遞減．
故$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
故$AD=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，V（x）取得最大值．

點(diǎn)評 本題考查四棱錐體積取最大值時(shí)線段長的求法，考查棱錐性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、勾股定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．