Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）²-aln|x-1|（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=8時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[e+1，e²+1]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=8代入函數(shù)f（x）=（x-1）²-aln|x-1|，得f（x）=（x-1）²-8ln（x-1），求出f′（x），然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）由題意f（x）=（x-1）²-8ln（1-x），然后求出f′(x)=2(x-1)-

a

x-1

=

2(x-1)2-a

x-1

=

2x2-4x+2-a

x-1

，然后分類討論①a＜0；②a＞0；從而得出函數(shù)f（x）在區(qū)間[e+1，e²+1]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）
（1）當(dāng)x＞1時，f（x）=（x-1）²-8ln（x-1），f′(x)=2(x-1)-

8

x-1

=

2(x-1)2-8

x-1

．
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（3，+∞）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＞1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，3）．
（2）當(dāng)x＜1時，f（x）=（x-1）²-8ln（1-x），
f′(x)=2(x-1)+

8

1-x

=

-2(x-1)2+8

1-x

，
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＜1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，1）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1，
由x＜1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1）．
綜上所述，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1），（1，3）．（5分）

（Ⅱ）當(dāng)x∈[e+1，e²+1]時，f（x）=（x-1）²-aln（x-1），
所以f′(x)=2(x-1)-

a

x-1

=

2(x-1)2-a

x-1

=

2x2-4x+2-a

x-1

，
設(shè)g（x）=2x²-4x+2-a．
（1）當(dāng)a＜0時，有△＜0，此時g（x）＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在[e+1，e²+1]上單調(diào)遞增．
所以f（x）_min=f（e+1）=e²-a
（2）當(dāng)a＞0時，△=16-4×2（2-a）=8a＞0．
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得x＞1+

2a

2

或x＜1-

2a

2

（舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得1-

2a

2

＜x＜1+

2a

2

．
①若1+

2a

2

≥e2+1，即a≥2e⁴時，f（x）在區(qū)間[e+1，e²+1]單調(diào)遞減，
所以f（x）_min=f（e²+1）=e⁴-2a．
②若1+e＜1+

2a

2

＜e2+1，即2e²＜a＜2e⁴時，f（x）在區(qū)間[1+e，1+

2a

2

]上單調(diào)遞減，
在區(qū)間[1+

2a

2

，1+e2]上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(1+

2a

2

)=

a

2

-aln

2a

2

．
③若1+

2a

2

≤e+1，即0＜a≤2e²時，f（x）在區(qū)間[e+1，e²+1]單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（e+1）=e²-a．
綜上所述，當(dāng)a＜0或0＜a≤2e²時，f（x）_min=f（e+1）=e²-a；
當(dāng)2e²＜a＜2e⁴時，f(x)min=

a

2

-aln

2a

2

；
當(dāng)a≥2e⁴時，f（x）_min=e⁴-2a．（13分）

點評：此題主要考查多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程與不等式等基礎(chǔ)知識，一般出題者喜歡考查學(xué)生的運算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，要出學(xué)生會用數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、有限與無限的思想來解決問題．