Question

已知函數(shù)為常數(shù)，e=2．71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在點處的切線與x軸平行．

(1)求k的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)．證明：對任意．

 

Answer 1

(1) ，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)證明過程見試題解析．

【解析】

試題分析：(1)利用在處的導(dǎo)數(shù)為0，可求k,進(jìn)而再利用導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間；(2)由（1）易證不等式在時成立，只需證時，又，易證最大值為,則對任意．

(1)，

由已知，，∴．

由,

設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，

由知，當(dāng)時，從而，

當(dāng)時，從而．

綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

(2)由(1)可知，當(dāng)時，≤0＜1+，故只需證明在時成立，

當(dāng)時，＞1，且，∴，

設(shè)，，則，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，取得最大值，

所以，

綜上，對任意

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．