Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c圖象上一點M（1，m）處的切線方程為y-2=0，其中a，b，c為常數(shù)．
（1）當a＞-3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間（用a表示）．
（2）若x=1不是函數(shù)f（x）的極值點，求證：函數(shù)f（x）的圖象關于點M對稱．

Answer 1

解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b，
由題意，知m=2，f（1）=1+a+b+c=2，f'（1）=3+2a+b=0，
即b=-2a-3，c=a+4．

當a＞-3時，，有

∴當a＞-3時，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為
（2）由（1）知：若x=1不是函數(shù)f（x）的極值點，則=1，
解出a=-3，b=3，c=1，f（x）=x³-3x²+3x+1=（x-1）³+2．
設點P（x₀，y₀）是函數(shù)f（x）的圖象上任意一點，則y₀=f（x₀）=（x₀-1）³+2，點P（x₀，y₀）關于點M（1，2）的對稱點為Q（2-x₀，4-y₀），
∵f（2-x₀）=（2-x₀-1）³+2=-（x₀-1）³+2=2-y₀+2=4-y₀，
∴點Q（2-x₀，4-y₀）在函數(shù)f（x）的圖象上．由點P的任意性知函數(shù)f（x）的圖象關于點M對稱．
分析：（1）已知易得點M（1，m）在切線上，得到m=2，且切線斜率為0，列出相應的等式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟求解．
（2）根據(jù)已知可以得出a，b，c的值，也就得到f（x），若證明f（x）的圖象關于點M對稱，只需證明f（x）的圖象上的任意一點P（x₀，y₀），關于點M的對稱點Q（2-x₀，4-y₀）也在圖象上即可．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及證明函數(shù)圖象關于點對稱的方法，本題較好，是教學中的重點和難點，同學們應熟練掌握其方法步驟．