Question

給出下列四個命題，則其中正確命題的序號為

（1）（2）（3）

（1）存在一個△ABC，使得sinA+cosA=1
（2）在△ABC中，A＞B?sinA＞sinB
（3）在△ABC中，若a=

3

，C=30°，c=1，則△ABC為直角三角形或等腰三角形
（4）在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）當A為直角時，可得sinA和cosA的值，進而得到sinA+cosA=1，故存在一個三角形滿足sinA+cosA=1；
（2）可先證充分性，由，“A＞B”推導“sinA＞sinB”，分A是銳角與A不是銳角兩類證明即可；再證必要性，由于在（0，π）上正弦函數不是單調函數，可分兩類證明，當A是鈍角時，與A不是鈍角時，易證，再由充分條件必要條件的定義得出正確選項即可；
（3）由C的度數求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理求出sinA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，再由C的度數，利用三角形的內角和定理求出B的度數，進而判斷出三角形的形狀，可得本選項正確與否；
（4）在△ABC中，若sin2A=sin2B，可得2A與2B相等或互補，進而得到A與B相等或互余，可得三角形為等腰三角形或直角三角形，從而得到本選項錯誤．

解答：A解：（1）若A=90°，則有sinA=1，cosA=0，滿足sinA+cosA=1，
故存在存在一個△ABC，使得sinA+cosA=1，即本選項正確；
（2）1°由題意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π-A
若A，B都是銳角，顯然有“sinA＞sinB”成立，
若A，B之一為銳角，必是B為銳角，此時有π-A不是鈍角，由于A+B＜π，必有B＜π-A≤

π

2

，此時有sin（π-A）=sinA＞sinB
綜上，△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充分條件；
2°研究sinA＞sinB，若A不是銳角，顯然可得出A＞B，若A是銳角，亦可得出A＞B，
綜上在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要條件
綜合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的充要條件，
本選項正確；
（3）∵a=

3

，C=30°，c=1，
∴根據正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：sinA=

asinC

c

=

3

2

，
又A為三角形的內角，∴A=60°或120°，
當A=60°時，由C=30°，得到B=90°，即三角形為直角三角形；
當A=120°時，由C=30°，得到B=30°，即三角形為等腰三角形，
則△ABC為直角三角形或等腰三角形，本選項正確；
（4）∵sin2A=sin2B，且A和B都為三角形的內角，
∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，
則三角形為等腰三角形或直角三角形，本選項錯誤，
綜上，正確命題的序號為（1）（2）（3）．
故答案為：（1）（2）（3）

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有：正弦定理，充分必要條件的證明，等腰及直角三角形的判斷，以及特殊角的三角函數值，利用了分類討論的數學思想，是一道綜合性較強的中檔題．