Question

設(shè)z是虛數(shù)，滿足是實(shí)數(shù)，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；
（2）設(shè)．求證：u是純虛數(shù)；
（3）求ω-u²的最小值．

Answer 1

解：（1）由z是虛數(shù)，設(shè)z=a+bi（a，b∈R，b≠0）則
∵ω∈R∴且b≠0得a²+b²=1即|z|=1
此時(shí)，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴即z的實(shí)部的取值范圍為．…（4分）
（2）．
∵a²+b²=1
∴u=又故u是純虛數(shù)．…（8分）
（3）=
由知，
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)ω-u²的最小值為1．…（14分）．
分析：（1）設(shè)出復(fù)數(shù)z，寫出ω的表示式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算，把ω整理成最簡(jiǎn)形式，根據(jù)所給的ω的范圍，得到ω的虛部為0，實(shí)部屬于這個(gè)范圍，得到z的實(shí)部的范圍．
（2）根據(jù)設(shè)出的z，整理u的代數(shù)形式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算，整理成最簡(jiǎn)形式，根據(jù)上一問(wèn)做出的復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)是1，得到u是一個(gè)純虛數(shù)．
（3）=，再利用基本不等式即可求ω-u²的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算，本題是一個(gè)運(yùn)算量比較大的問(wèn)題，題目的運(yùn)算比較麻煩，解題時(shí)注意數(shù)字不要出錯(cuò)．