Question

已知A，B，C是橢圓m：+=1（a＞b＞0）上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），BC過(guò)橢圓m的中心，且，且||=2||．
（1）求橢圓m的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M（0，t）的直線l（斜率存在時(shí)）與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q，設(shè)D為橢圓m與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且||=||．求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，點(diǎn)A是橢圓m的右頂點(diǎn)，∴a=2；由•=0，得AC⊥BC；由=2和橢圓的對(duì)稱性，得=；這樣，可以得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)M的直線l，與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q；當(dāng)斜率k=0時(shí)，點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，則-2＜t＜2；當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)過(guò)M點(diǎn)的直線l：y=kx+t與橢圓方程組成方程組，消去y，可得關(guān)于x的一元二次方程，由判別式△＞0，得不等式①，由x₁+x₂的值可得PQ的中點(diǎn)H坐標(biāo)，由=，得DH⊥PQ，所以斜率，這樣得等式②；
由①②可得t的范圍．
解答：解（1）如圖所示，
∵=2，且BC過(guò)點(diǎn)O（0，0），則；
又 •=0，∴∠OCA=90°，且A（2，0），則點(diǎn)C，
由a=，可設(shè)橢圓的方程m：；
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入方程m，得，解得c²=8，b²=4；
∴橢圓m的方程為：；
（2）如圖所示，
由題意，知D（0，-2），∵M(jìn)（0，t），
∴1°當(dāng)k=0時(shí)，顯然-2＜t＜2，
   2°當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)l：y=kx+t，則
，消去y，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0；
由△＞0，可得t²＜4+12k² ①
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且PQ的中點(diǎn)為H（x，y）；
則x==-，y=kx+t=，∴H；
由，∴DH⊥PQ，則k_DH=-，∴=-；
∴t=1+3k² ②
∴t＞1，將①代入②，得1＜t＜4，∴t的范圍是（1，4）；
綜上，得t∈（-2，4）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓知識(shí)的綜合應(yīng)用，以及向量在解析幾何中的應(yīng)用；用數(shù)形結(jié)合的方法比較容易理清思路，解得結(jié)果．