Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)任取一點P，則點P到點A的距離不大于1的概率為

1

6

π

．

Answer 1

分析：本題是幾何概型問題，欲求點P到點A的距離小于等于1的概率，先由與點A距離等于1的點的軌跡是一個八分之一個球面，求出其體積，再根據(jù)幾何概型概率公式結(jié)合正方體的體積的方法求解即可．

解答：解：本題是幾何概型問題，
與點A距離等于1的點的軌跡是一個八分之一個球面，
其體積為：V₁=

1

8

×

4π

3

×13=

π

6

，
“點P與點O距離大于1的概率”事件對應(yīng)的區(qū)域體積為：

1

8

×

4π

3

×13=

π

6

，
則點P到點A的距離小于等于a的概率為：

π 6

13

=

1

6

π．
故答案為：

1

6

π．

點評：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=

N(A)

N

求解．考查幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．